Question

如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切于點A．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）已知圓P經(jīng)過A點且始終與拋物線C的準(zhǔn)線相切，求圓P的圓心的軌跡方程，并說明其是什么曲線？．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4x-4b=0．由于直線l與拋物線相切，令△=0，即可解得．
（2）由于圓P經(jīng)過A點且始終與拋物線C的準(zhǔn)線相切，可得|PA|=|y+1|，利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0．
∵直線l與拋物線相切，
∴△=（-4）2-4×（-4b）=0，解得b=-1．
（2）由（1）已知A的坐標(biāo)為（2，1），
設(shè)P（x，y）．
∵圓P經(jīng)過A點且始終與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
∴|PA|=|y+1|
∴

(x-2)2+(y-1)2

=|y+1|
∴圓心軌跡（x-2）²=4y是拋物線．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的方程、兩點之間的距離公式，考察了推理能力與計算能力，屬于中檔題．