Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡Q的方程；
（2）過點(diǎn)B的直線l與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N．試問在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使得為常數(shù)．若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）△APB中，由余弦定理得：AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•cos2θ=
|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•（1-2sin²θ）=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|+4|PA|•|PB|sin²θ
=（|PA|-|PB|）²+8=16，∴||PA|-|PB||=2，故點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，
且 c=2，a=，∴b=，故雙曲線方程為 x²-y²=2．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)C（m，0），使得為常數(shù)，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為 y=k（x-2），
代入雙曲線方程得 （1-k²） x²+4k²x-（4k²+2）=0，由題意知 k≠±1．
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∵=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2 ）（x₂-2）
=（1+k²）x₁•x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²= 為常數(shù)，與k無關(guān)，
∴m=1，此時，=-1．
當(dāng)當(dāng)直線l斜率不存在時，M（2，2），N （2，-2），=-1．
綜上，存在定點(diǎn)C（1，0），使得為常數(shù)．
分析：（1）△APB中，由余弦定理和已知條件得||PA|-|PB||=2，再利用雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，求出 a和 b 的值，即得雙曲線方程．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)C（m，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及為常數(shù)，求得 m 值．
點(diǎn)評：本題考查余弦定理、雙曲線的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求定點(diǎn)C 的橫坐標(biāo)m值是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．