Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．當x∈（-3，2）時，f（x）＞0．
（1）求f（x））在[0，1]內(nèi)的值域；
（2）若不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞-1$，對任意x＞3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）若不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞0$，對任意|m|≤1恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0，可得f（x）=0的兩根為-3，2，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a，b的值，進而得到函數(shù)的解析式，再由配方法求得函數(shù)的值域；
（2）把a，b的值代入，再把不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞-1$對任意x＞3恒成立轉(zhuǎn)化為x²+（m-6）x+10-3m＞0對任意x＞3恒成立，進一步得到關(guān)于m的不等式組求得實數(shù)m的取值范圍；
（3）把a，b的值代入，再把不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞0$對任意|m|≤1恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式組求解．

解答 解：（1）由已知得，方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根為-3，2，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b-8}{a}=1}\\{-\frac{a+ab}{a}=-6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b-8=a}\\{1+b=6}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18=$-3（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{75}{4}$．
∴f（x）的最大值為f（0）=18，最小值為f（1）=12；
（2）不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞-1$對任意x＞3恒成立，
即x²+（m-6）x+10-3m＞0對任意x＞3恒成立，
則△=（m-6）²-4（10-3m）＜0①或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m-6}{2}≤3}\\{{3}^{2}+3（m-6）+10-3m≥0}\end{array}\right.$②，
解①得：-2＜m＜2，解②得：m≥0．
∴實數(shù)m的取值范圍為（-2，+∞）；
（3）不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞0$對任意|m|≤1恒成立，
即（x-3）m+x²-6x+9＞0對任意|m|≤1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（x-3）+{x}^{2}-6x+9＞0}\\{（x-3）+{x}^{2}-6x+9＞0}\end{array}\right.$，解得x＜2或x＞5．
∴x的取值范圍為：（-∞，2）∪（5，+∞）．

點評 本題考查恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，基本不等式，函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．