若x∈（0，
π
2
），則不等式
sin2(x+
π
4
)+a
sin2x
+sin2x≥5恒成立的正實(shí)數(shù)a的取值范圍為
 
．
考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值
專題：三角函數(shù)的求值
分析：由題意可得sin2x＞0，
1
sin2x
+
a
sin2x
+sin2x≥
9
2
 恒成立．利用基本不等式可得
1
sin2x
+
2a
sin2x
+sin2x≥2
2a
，可得 2
2a
≥
9
2
，由此求得a的范圍．
解答： 解：由題意可得sin2x＞0，且
1+sin2x+2a
2sin2x
+sin2x≥5恒成立，即
1
sin2x
+
a
sin2x
+sin2x≥
9
2
 恒成立．
利用基本不等式可得 即
1
sin2x
+
2a
sin2x
+
1
2
sin2x+
1
2
sin2x≥4
a
2
=2
2a
，當(dāng)且僅當(dāng)
1
sin2x
=
2a
sin2x
=
1
2
sin2x 時(shí)取等號(hào)．
∴2
2a
≥
9
2
，求得a≥
81
32
，
故答案為：[
81
32
，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查半角公式、基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+lnx
x
．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+
1
3
）（m＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=
1+x
a(1-x)
[xf（x）-1]，若對(duì)任意x∈（0，1）恒有g(shù)（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
2
sin（ωx-
π
3
）（ω＞0）的圖象在[
π
4
，
π
2
]上為增函數(shù)，則ω的取值范圍為（　�。�
A、[
2
3
，
5
3
]
B、[
17
3
，
22
3
]
C、(0，
5
3
]
D、(0，
17
3
]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=4，滿足an+2=
5
3
an+1-
2
3
an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cosB=
4
5
，a=10，S△ABC=42，則b+
a
sinA
=（　　）
A、
27
2
2
B、16
C、8
2
D、16
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線ax2+by2=12的兩條動(dòng)弦MA，MB所在直線的斜率分別為k1，k2．
（1）已知a=b=3且A（-2，0），B（2，0），試證明：k1k2為定值．
（2）已知a=3，b=4．
（i）若A（-2，0），B（2，0），試判斷k1k2是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（ii）若定點(diǎn)M（1，-
3
2
）且k1k2=
3
4
，試判斷直線AB是否過一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在二項(xiàng)式(2
x
+
1
4x
)n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則該二項(xiàng)式展開式中x-2項(xiàng)的系數(shù)為（　�。�
A、1B、4C、8D、16

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知某幾何體的三視圖如圖所示（單位cm），則此幾何體的體積為（　�。�
A、
21
2
cm3
B、
15
2
cm3
C、16cm3
D、12cm3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

運(yùn)行如圖所示的流程圖，則輸出的結(jié)果an是（　　）
A、1B、-1C、-4D、-5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案