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7.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,an=2an-1+n2-4n+2(n=2,3,…),數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=an+n2(n∈N*).
(1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)利用an=2an-1+n2-4n+2(n=2,3,…)化簡(jiǎn)n+1n即得結(jié)論;
(2)通過(guò)a1=1,計(jì)算可知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列,進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論.

解答 (1)證明:∵bn=an+n2(n∈N*),an=2an-1+n2-4n+2(n=2,3,…),
n+1n=an+1+n+12an+n2=2an+n+124n+1+2+n+12an+n2=2an+n+122n+1+1an+n2=2,
∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列;
(2)解:∵a1=1,
∴b1=a1+12=2,
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=212n12=2n+1-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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