Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x+3•$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin2x+cos2x+2
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換的問題，是基礎(chǔ)題．