已知圓C經(jīng)（x-1）2+（y-2）2=5經(jīng)過橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F和上頂點B．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過原點O的射線l在第一象限與橢圓E的交點為Q，與圓C的交點為P，M為OP的中點，求
OM
•
OQ
的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）在圓（x-1）2+（y-2）2=5中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，4），由此能求出橢圓方程；
（2）設點Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由于M為OP的中點，則CM⊥OQ，則
OM
•
OQ
=（
OC
+
CM
）•
OQ
=
OC
•
OQ
=（1，2）•（x0，y0）=x0+2y0，設t=x0+2y0，與
x02
20
+
y02
16
=1聯(lián)立，消去x0，再由判別式為0，即可得到最大值．
解答： 解：（1）在圓C：（x-1）2+（y-2）2=5中，
令y=0，得F（2，0），即c=2，
令x=0，得B（0，4），即b=4，
∴a2=b2+c2=20，
∴橢圓E的方程為：
x2
20
+
y2
16
=1．
（2）設點Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，
由于M為OP的中點，則CM⊥OQ，
則
OM
•
OQ
=（
OC
+
CM
）•
OQ
=
OC
•
OQ

=（1，2）•（x0，y0）
=x0+2y0，
又
x02
20
+
y02
16
=1，
設t=x0+2y0，與
x02
20
+
y02
16
=1聯(lián)立，得：21y02-16ty0+4t2-80=0，
令△=0，得256t2-84（4t2-80）=0，
解得t=±2
21
．
又點Q（x0，y0）在第一象限，
∴當y0=
16
21
21
時，
OM
•
OQ
取最大值2
21
．
點評：本題考查直線、圓、橢圓、平面向量等基礎知識，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結合、化歸轉化及函數(shù)與方程等數(shù)學思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某沿海地區(qū)在保護環(huán)境與發(fā)展經(jīng)濟方面制定了一個長期規(guī)劃藍圖，其中有一個退耕還林與鹽堿地改造工程．已知需要退耕還林的總面積為640km2，每年退耕還林的面積相等；鹽堿地改造工程計劃用10年時間完成，第一年內(nèi)改造面積20km2，前4年每年以100%的增長率改造，然后從第5年開始，每年度比上一年減少20km2．
（1）若是10年后該地區(qū)未退耕還林的面積與改造過的鹽堿地的面積之和正好比目前需要退耕還林的面積翻一番，則每年退耕還林的面積是多少？
（2）設第n年（1≤n≤10且n∈N）鹽堿地改造的總面積為Sn，求Sn的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
，
b
是非零向量，則下列不等式恒成立的是
 
（寫出所有正確結論的序號）
①|(zhì)
a
-
b
|≤|
a
+
b
|
②|
a
|-|
b
|≤|
a
+
b
|
③|
a
|-|
b
|≤|
a
-
b
|
④|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|
⑤
a
•
b
≤|
a
+
b
|

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1-x），已知當x∈[0，1]時，f(x)=(
1
2
)1-x，則：
①f（x+2）=f（x）；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；
③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；
④當x∈（3，4）時，f(x)=(
1
2
)x-3．
其中正確結論的個數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈∁RQ
被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則關于函數(shù)有如下四個命題：
①f（f（x））=0；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意的x∈R恒成立；
④存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．
其中的真命題是（　�。�
A、①②④B、②③
C、③④D、②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，又f（2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=
1
2
+
f(x)-[f(x)]2
，且f（-1）=
1
2
，則f（2014）的值為（　�。�
A、-1
B、1
C、2014
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=f（x-1）+f（x+1）且f（0）=0，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（　�。�
①已知ab≠0，求
a
b
+
b
a
的最小值；解答過程：
a
b
+
b
a
≥2
a
b
•
b
a
=2．
②求函數(shù)y=
x2+5
x2+4
的最小值；解答過程：可化得y=
x2+4
+
1
x2+4
≥2
③設x＞1，求y=x+
2
x-1
的最小值；解答過程：y=x+
2
x-1
≥2
2x
x-1
，當且僅當x=
2
x-1
即x=2時等號成立，把x=2代入2
2x
x-1
得最小值為4．
A、0個B、1個C、2個D、3個

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