Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}{cosx}$
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上的最值．

Answer 1

分析 （1）由分母不為0，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可得定義域；
（2）運(yùn)用兩角差的余弦公式和二倍角公式，化簡整理可得f（x）=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由x的范圍，可得x+$\frac{π}{4}$的范圍，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}{cosx}$，
可得cosx≠0，即x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即有函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}；
（2）f（x）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}{cosx}$=$\frac{1+\sqrt{2}（cos2xcos\frac{π}{4}+sin2xsin\frac{π}{4}）}{cosx}$=$\frac{1+cos2x+sin2x}{cosx}$=$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{cosx}$
=2（sinx+cosx）=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），可得x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{3π}{4}$），
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$；
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=0，即x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運(yùn)用兩角差的余弦公式和二倍角公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．