已知函數(shù)f(x)=ax2-4x+2(a>0)滿足:對于任意的x∈[0,m],不等式|f(x)|≤4成立.
(1)若a=3,求m的最大值
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,m]上的最小值是-3,求a的值
(3)對于給定的正數(shù)a,當(dāng)a為何值時,m最大?并求出這個最大的m.
解:(1)當(dāng)a=3時,
…(2分)
因為函數(shù)f(x)對于任意的x∈[0,m],不等式|f(x)|≤4成立
所以m的最大值是方程3x
2-4x+2=4的較大根,故
…(4分)
(2)因為-3∈[-4,4],所以f(x)=ax
2-4x+2區(qū)間[0,m]上的最小值是在對稱軸處取得,…(7分)
所以
,所以
,所以
…(8分)
(3)因為
,所以
.…(9分)
①若
,即
時,m是方程ax
2-4x+2=-4的較小根…(11分)
解之得:
.…(12分)
②若
,即
時,所以m是方程ax
2-4x+2=-4的較大根,即
…(14分)
并且
越小,m越大,
故當(dāng)
,即
時,m可以取到最大為3
又因為
.
所以,當(dāng)且僅當(dāng)
時,m取得最大值3…(16分)
分析:(1)先配方,利用對于任意的x∈[0,m],不等式|f(x)|≤4成立,可知m的最大值是方程3x
2-4x+2=4的較大根;
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)對于任意的x∈[0,m],不等式|f(x)|≤4成立,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,m]上的最小值-3∈[-4,4],所以f(x)=ax
2-4x+2區(qū)間[0,m]上的最小值是在對稱軸處取得;
(3))因為
,所以
,與-4比較,進(jìn)行分類討論,我們就可以求出這個最大的m.
點評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),考查配方法解決函數(shù)最值問題,問題(3)分類討論是關(guān)鍵.