Question

16．對任意的向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$和實數(shù)x∈[0，1]，如果滿足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，都有$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≤λ|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$成立，那么實數(shù)λ的最小值為2．

Answer 1

分析 由絕對值和向量的模的性質(zhì)$\frac{|\overrightarrow{a}-x\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$≤1，即為$\frac{λ}{2}$≥1，解得即可．

解答 解：當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$時，可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$均為零向量，不等式成立，
∵$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$＞|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
∴|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|，
∴$\frac{|\overrightarrow{a}-x\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$≤1，
則有$\frac{λ}{2}$≥1，即λ≥2
那么實數(shù)λ的最小值為2，
故答案為：2．

點評 本題考查最值的求法，注意運用特值法，以及恒成立思想的運用，考查向量的運算性質(zhì)，屬于中檔題．