Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，左右頂點分別為A，B，線段AB的長為4．P在橢圓M上且位于第一象限，過點A，B分別作l1⊥PA，l2⊥PB，直線l1，l2交于點C．

（1）若點C的橫坐標(biāo)為﹣1，求P點的坐標(biāo)；

（2）直線l1與橢圓M的另一交點為Q，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的方程，設(shè)P（x0，y0），分別表示出直線AC與BC的方程，聯(lián)立方程組，求出點C的坐標(biāo)，即可求出點P的坐標(biāo)，

（2）設(shè)Q（xQ，yQ），根據(jù)向量的坐標(biāo)公式和，求出點Q坐標(biāo)，再由點Q在橢圓上，即可解得，即可求出λ的取值范圍.

（1）由題意得，解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3

∴橢圓M的方程是1，且A（﹣2，0），B（2，0），

設(shè)P（x0，y0），則kPA，

∵l1⊥PA，

∴直線AC的方程為y（x+2），

同理：直線BC的方程為y（x﹣2）．

聯(lián)立方程，解得，又

∵y0，

∴點C的坐標(biāo)為（﹣x0，y0），

∵點C的橫坐標(biāo)為﹣1，

∴x0＝1，

又∵P為橢圓M上第一象限內(nèi)一點∴y0

∴P點的坐標(biāo)為．

（2）設(shè)Q（xQ，yQ）∵λ，

∴，

解得：，

∵點Q在橢圓M上，

∴，又，

整理得：，解得：x0＝2或，

∵P為橢圓M上第一象限內(nèi)一點，

∴，解得：，

故λ的取值范圍為（，）．