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1.已知函數(shù)f(x)=x2+ln(x-a),a∈R.
(Ⅰ)若f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a≤-2時(shí),令g(a)表示f(x)在[-1,0]上的最大值,求g(a)的表達(dá)式;
(Ⅲ)求證:3n2+5n8n2+24n+16+lnn+11+12+13+…+1n,n∈N*

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令h(x)=2x2-2ax+1,得到關(guān)于a的不等式組,解出即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求出f(x)的最大值,從而求出g(a)的表達(dá)式;
(Ⅲ)令x+2=n+1n,則x=-n1n∈(-1,0],n1n2+lnn+1n<1,即可證明結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=2x22ax+1xa(x>a),∴f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),
令h(x)=2x2-2ax+1,則h(x)有兩個(gè)大于a的零點(diǎn),(2分)
{△=4a280ha0aa2,∴a<-2;                                        (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)a≤-2時(shí),f(x)在(a,aa222],[a+a222,+∞)上單調(diào)遞增;
在(aa222,a+a222]上單調(diào)遞減,(aa222<-1,a+a222<0,-------------------------(8分)
注意到h(x)=2x2-2ax+1的對(duì)稱(chēng)軸x=a2<-1,h(-1)=3+2a<0,h(0)=1>0,可推知-1<x2<0,
∴當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),g(a)=f(x)max=max{f(-1),f(0)}---------------------(9分)
而f(0)=ln(-a),f(-1)=1+ln(-1-a),
又若f(0)>f(-1),a=-ee1>-2,故f(0)>f(-1)不成立
綜上分析可知,g(a)=f(-1)=1+ln(-1-a)(a≤-2)…(10分)
(Ⅲ)證明:由(2)知,當(dāng)a=-2時(shí),x2+ln(x+2)≤1
令x+2=n+1n,則x=-n1n∈(-1,0],∴n1n2+lnn+1n<1,
∴l(xiāng)nn+1n2n-1n2,即1n2+lnn+1n2n                        (12分)
ni=11ii+2+ni=1lni+1ini=11i2+ni=1lni+1ini=12i
3n2+5n4n2+12n+8+lnn+1ni=12i,
3n2+5n8n2+24n+16+lnn+11+12+13+…+1n,n∈N*.                      (14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì),是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.
(Ⅰ)當(dāng)a=5時(shí),求不等式f(x)≥5x+1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.

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10.已知函數(shù)f(x)=aex-x-1,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線(xiàn)f(x)恒在直線(xiàn)y=x+1的上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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7.平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}(t為參數(shù),a為常數(shù)),曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}(α為參數(shù),-\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.

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14.已知函數(shù)f(x)=ex+ax(a∈R),g(x)=lnx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)為l,直線(xiàn)l與y=ex+3平行,求a的值;
(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥0,f(x)>0恒成立,試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)M(x)=g(x)-f(x)在[1,e]上是否存在極值?若存在,求出極值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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6.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且△PAC是等邊三角形,AC=2,AB⊥BC,且AB=BC.過(guò)點(diǎn)B的平面α與直線(xiàn)PC平行,且與平面PAC垂直,設(shè)α與AC交于點(diǎn)O,與PA交于點(diǎn)D.
(Ⅰ)在圖中標(biāo)出O、D的位置,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若直線(xiàn)PB與平面ABC所成的角等于\frac{π}{3},求平面BDO與平面PBC所成二面角的平面角的正切值.

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13.如圖,四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,∠BCD=45°,AB=AD=PB=1,點(diǎn)E在棱PA上,且PE=2EA.
(1)求證:平面PCD⊥平面PBD;
(2)求二面角A-BE-D的正弦值的大�。�

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10.在平面直角坐標(biāo)系xOy和及坐標(biāo)系中,極點(diǎn)與原點(diǎn)重合,極軸與x軸非負(fù)半軸重合,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.(t為參數(shù)),曲線(xiàn)C:ρ2-4ρsinθ+2=0.
(Ⅰ)將直線(xiàn)l的方程化為普通方程,將曲線(xiàn)C的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于A,B,求|AB|.

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11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.(α為參數(shù)),曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ2(sin2θ+4cos2θ)=4.
(1)求曲線(xiàn)C1與曲線(xiàn)C2的普通方程;
(2)若A為曲線(xiàn)C1上任意一點(diǎn),B為曲線(xiàn)C2上任意一點(diǎn),求|AB|的最小值.

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