分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),令h(x)=2x2-2ax+1,得到關于a的不等式組,解出即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求出f(x)的最大值,從而求出g(a)的表達式;
(Ⅲ)令x+2=n+1n,則x=-n−1n∈(-1,0],(n−1n)2+lnn+1n<1,即可證明結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=2x2−2ax+1x−a(x>a),∴f(x)有兩個不同的極值點,
令h(x)=2x2-2ax+1,則h(x)有兩個大于a的零點,(2分)
∴{△=4a2−8>0h(a)>0a<a2,∴a<-√2; (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當a≤-2時,f(x)在(a,a−√a2−22],[a+√a2−22,+∞)上單調(diào)遞增;
在(a−√a2−22,a+√a2−22]上單調(diào)遞減,(a−√a2−22<-1,a+√a2−22<0,-------------------------(8分)
注意到h(x)=2x2-2ax+1的對稱軸x=a2<-1,h(-1)=3+2a<0,h(0)=1>0,可推知-1<x2<0,
∴當x∈[-1,0]時,g(a)=f(x)max=max{f(-1),f(0)}---------------------(9分)
而f(0)=ln(-a),f(-1)=1+ln(-1-a),
又若f(0)>f(-1),a=-ee−1>-2,故f(0)>f(-1)不成立
綜上分析可知,g(a)=f(-1)=1+ln(-1-a)(a≤-2)…(10分)
(Ⅲ)證明:由(2)知,當a=-2時,x2+ln(x+2)≤1
令x+2=n+1n,則x=-n−1n∈(-1,0],∴(n−1n)2+lnn+1n<1,
∴l(xiāng)nn+1n<2n-1n2,即1n2+lnn+1n<2n (12分)
∴∑ni=11i(i+2)+∑ni=1lni+1i<∑ni=11i2+∑ni=1lni+1i<∑ni=12i
∴3n2+5n4n2+12n+8+ln√n+1<∑ni=12i,
∴3n2+5n8n2+24n+16+ln√n+1<1+12+13+…+1n,n∈N*. (14分)
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì),是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com