Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy和及坐標(biāo)系中，極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C：ρ²-4ρsinθ+2=0．
（Ⅰ）將直線l的方程化為普通方程，將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線交于A，B，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C：ρ²-4ρsinθ+2=0，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．
（II）圓心C到直線l的距離d．利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-zdtxxld^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0．
曲線C：ρ²-4ρsinθ+2=0，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4y+2=0，配方為x²+（y-2）²=2，
可得圓心C（0，2），半徑r=$\sqrt{2}$．
（II）圓心C到直線l的距離d=$\frac{|-2+2-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長、點(diǎn)到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．