Question

19．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數），在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，以相同的才長度單位建立極坐標系，設圓M的極坐標方程為：ρ²-6ρsinθ=-5．
（1）求圓M的直角坐標方程；
（2）若直線l截圓所得弦長為2$\sqrt{3}$，求整數a的值．

Answer 1

分析 （1）由圓M的極坐標方程為：ρ²-6ρsinθ=-5，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐標方程．通過配方可得圓心M，半徑r．
（2）把直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數）化為普通方程，利用點到直線的距離公式可得圓心M （0，3）到直線l的距離d，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）∵圓M的極坐標方程為：ρ²-6ρsinθ=-5．
可得直角坐標方程：x²+y²-6y=-5，配方為：x²+（y-3）²=4．
∴圓 M 的直角坐標方程為：：x²+（y-3）²=4．圓心M（0，3），半徑r=2．
（2）把直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數）化為普通方程得：3x+4y-3a+4=0，
∵直線l截 圓 M 所 得 弦 長 為2$\sqrt{3}$，
且圓M 的 圓 心 M （0，3）到直線l的距離d=$\frac{|12-3a+4|}{5}$=$\frac{|16-3a|}{5}$．
∴$（\sqrt{3}）^{2}$=2²-$（\frac{16-3a}{5}）^{2}$，
化為：16-3a=±5，
解得a=$\frac{11}{3}$或7．
又a∈Z，∴a=7．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與橢圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．