已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)證明不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點；

(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度．并求此時m的值．

答案：
解析：

　　(1)證明：直線方程可化為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，m∈R，這表明此直線經(jīng)過一個定點，由得定點坐標(biāo)為A(3，1)．

　　又(3－1)2＋(1－2)2＜25，

　　所以點A在圓內(nèi)，直線l一定與圓有兩個交點．

　　(2)解：當(dāng)圓心與點A的連線與過A的弦垂直時，截得的弦長最短，

　　∴．

　　解之，得m＝－．


提示：

說明直線與圓恒相交，只要說明直線恒過圓內(nèi)一點，所以求出直線l所過的定點，此定點在圓內(nèi)，問題(1)即得證；直線被圓截得的弦中最短的一條就是過定點且與過定點的直徑垂直的弦，其斜率可由直徑的斜率求得．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)證明不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；

(2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二4.2直線、圓的位置關(guān)系練習(xí)卷（一） 題型：解答題

已知圓C：(x－1) ＋(y－2) =25,直線L：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R)

(1)證明:無論m取什么實數(shù)，L與圓恒交于兩點.

(2)求直線被圓C截得的弦長最小時L的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆吉林省長春市高一上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)證明：直線l與圓相交；

(2)求直線l被圓截得的弦長最小時的直線l的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2=2，點P(2，－1)，過P點作圓C的切線PA、PB，A、B為切點.

(1)求PA、PB所在直線的方程；

(2)求切線長|PA|；

(3)求∠APB的正弦值；

(4)求AB的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：(x－1)2＋y2＝1與直線l：x－2y＋1＝0相交于A、B兩點，則|AB|＝　　　　.

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