Question

17．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）在數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)3項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)，若不存在，說(shuō)明理由；
（2）試證在數(shù)列{a_n}中，一定存在滿(mǎn)足條件1＜r＜s的正整數(shù)r、s，使得a₁、a_r、a_s成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r、s之間的關(guān)系；
（3）在數(shù)列{a_n}中是否存在某4項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若存在連續(xù)的三項(xiàng)a_k，a_k+1，a_k+2成等差數(shù)列，k∈N^*，則2a_k+1=a_k+a_k+2，代入化簡(jiǎn)即可得出．
（2）若a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，則2[2^r-（-1）^r]=3+2^s-（-1）^s，化簡(jiǎn)即可得出．
（3）由于a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹-2ⁿ+（-1）ⁿ=2ⁿ+2（-1）ⁿ≥0，不妨設(shè)a_q，a_r，a_s，a_t成等差數(shù)列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a_q+a_t=a_r+a_s，即2^q-（-1）^q+2^t-（-1）^t=2^r-（-1）^r+2^s-（-1）^s，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：（1）若存在連續(xù)的三項(xiàng)a_k，a_k+1，a_k+2成等差數(shù)列，k∈N^*，
則2a_k+1=a_k+a_k+2，
即：2[2^k+1-（-1）^k+1]=2^k-（-1）^k+2^k+2-（-1）^k+2，…（1分）
所以2^k=-4（-1）^k，…（2分）
由于=-4（-1）^k=±4，∴2^k=4，即k=2．
所以當(dāng)且僅當(dāng)k=2時(shí)，a_k，a_k+1，a_k+2成等差數(shù)列…（4分）
（2）若a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，則2[2^r-（-1）^r]=3+2^s-（-1）^s，
∴2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3…（6分）
∵r＜s，∴2^s-2^r+1≥0，
而（-1）^s-2（-1）^r-3≤0，…（8分）
∴2^s-2^r+1=0，可得s=r+1，且s為大于等于4的偶數(shù)…（10分）
（3）由于a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹-2ⁿ+（-1）ⁿ=2ⁿ+2（-1）ⁿ≥0，…（12分）
不妨設(shè)a_q，a_r，a_s，a_t成等差數(shù)列，其中1≤q＜r＜s＜t．
于是a_q+a_t=a_r+a_s，即2^q-（-1）^q+2^t-（-1）^t=2^r-（-1）^r+2^s-（-1）^s，
所以2^q+2^t-2^r-2^s=（-1）^q+（-1）^t-（-1）^r-（-1）^t．（*）
因?yàn)椋?）式左邊≥2²+2=6，
（*）式右邊≤4，
所以（*）式無(wú)解，故在數(shù)列{a_n}中不存在某4項(xiàng)成等差數(shù)列…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．