Question

1．（Ⅰ）對(duì)矩陣A=$（{\begin{array}{l}3&1\\ 4&2\end{array}}）$，求其逆矩陣A^-1；
（Ⅱ） 利用矩陣知識(shí)解二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}3x+y=2\\ 4x+2y=3\end{array}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由矩陣A求得丨A丨和其伴隨矩陣A*，由A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$•A*，即可求得逆矩陣A^-1；
（Ⅱ） 將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成$A（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）$，由（Ⅰ）可知$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=A^-1$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$，即可求得方程組的解．

解答 解：（Ⅰ）丨A丨=3×2-4×1=2，
A的伴隨矩陣A*=$[\begin{array}{l}{2}&{-1}\\{-4}&{3}\end{array}]$，
由A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$•A*=$[\begin{array}{l}{1}&{-\frac{1}{2}}\\{-2}&{\frac{3}{2}}\end{array}]$，
∴${A^{-1}}=（{\begin{array}{l}1&{-\frac{1}{2}}\\{-2}&{\frac{3}{2}}\end{array}}）$…（3分）
（Ⅱ） 方程組可寫(xiě)為$A（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）$，（4分）
因此原方程組的解：$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=A^-1$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{-\frac{1}{2}}\\{-2}&{\frac{3}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}\end{array}）$，
∴方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$．（7分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查逆變換與逆矩陣的應(yīng)用，考查求二階矩陣的逆矩陣，系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．