Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），x≥1}\end{array}\right.$
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，分別探討y=2^x-1（x＜1）與y=4（x-1）（x-2）=4（x²-3x+2）（x≥1）的單調(diào)性與最值，即可求得f（x）的最小值；
（2）分①g（x）=2^x-a在x＜1時(shí)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，h（x）=4（x-a）（x-2a）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，②函數(shù)g（x）=2^x-a與x軸無(wú)交點(diǎn)，h（x）=4（x-a）（x-2a）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)兩類討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x＜1}\\{4（x-1）（x-2），x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，函數(shù)值f（x）∈（-1，1）；
當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，$\frac{3}{2}$]為減函數(shù)，在[$\frac{3}{2}$，+∞）為增函數(shù)，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值為-1；
故a=1，f（x）的最小值-1，
（2）①若函數(shù)g（x）=2^x-a在x＜1時(shí)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則a＞0，并且當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=2-a＞0，即0＜a＜2，
函數(shù)h（x）=4（x-a）（x-2a）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1且a＜1⇒$\frac{1}{2}$≤a＜1；
②若函數(shù)g（x）=2^x-a與x軸無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)h（x）=4（x-a）（x-2a）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=2^x-a與x軸無(wú)交點(diǎn)，h（x）=4（x-a）（x-2a）在x≥1時(shí)與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)h（1）=2-a≥0時(shí)，a≥2，h（x）=4（x-a）（x-2a）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，x=a和x=2a，由于a≥2，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均滿足x≥1，
綜上所述，a的取值范圍為：$\frac{1}{2}$≤a＜1和a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，著重考查指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想與分析運(yùn)算能力，屬于難題．