Question

6．設(shè)x＞0，y＞0，若xlg2，lg$\sqrt{2}$，ylg2成等差數(shù)列，則$\frac{1}{x}+\frac{16}{y}$的最小值為（　�。�

• A． 9
• B． 16
• C． 25
• D． 32

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，等差中項(xiàng)，基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答 解：∵xlg2，lg$\sqrt{2}$，ylg2成等差數(shù)列，
∴2lg$\sqrt{2}$=（x+y）lg2
∴x+y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{16}{y}$=（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{16}{y}$）=17+$\frac{y}{x}$+$\frac{16x}{y}$≥17+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{16x}{y}}$=17+8=25，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{5}$，y=$\frac{4}{5}$時(shí)取等號(hào)，
故則$\frac{1}{x}+\frac{16}{y}$的最小值為25，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，等差中項(xiàng)，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．