Question

7．設函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關于直線$x=\frac{2π}{3}$對稱，它的周期為π，則下列說法正確是③．（填寫序號）
①f（x）的圖象過點$（{0，\frac{3}{2}}）$；
②f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上單調遞減；
③f（x）的一個對稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$；
④將f（x）的圖象向右平移|φ|個單位長度得到函數y=2sinωx的圖象．

Answer 1

分析 根據對稱軸的性質和周期公式求解出ω，φ，可得f（x）的解析式，結合三角函數的圖象及性質判斷可得答案．

解答 解：由題意，周期為π，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，可得ω=2．則f（x）=2sin（2x+φ）
圖象關于直線$x=\frac{2π}{3}$對稱，可得2×$\frac{2π}{3}$+φ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
則f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
當x=0時，可得f（0）=1，圖象過點（0，1），∴①不對．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ．
可得f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上單調遞減；∴②不對．
當x=$\frac{5π}{12}$時，可得f（$\frac{5π}{12}$）=0，圖象關于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱，∴③對．
將f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到：2sin（2x$-\frac{π}{6}$），∴④不對．
故答案為③．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質的運用，利用已知條件求出f（x）的解析式是解決本題的關鍵．屬于中檔題．