Question

5．為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$，現(xiàn)在3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè)．
（I）求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；
（II）記ξ為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，首先設(shè)第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，且各個事件相互獨立，又由P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，由相互獨立事件的概率乘法公式得答案；
（Ⅱ）根據(jù)ξ為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，得到變量的可能取值，分析出變量符合二項分布，得到變量的概率，即可寫出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，
由題意知A₁，A₂，A₃相互獨立，B₁，B₂，B₃相互獨立，C₁，C₂，C₃相互獨立，
A_i，B_j，C_k（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互獨立，
且P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$；
他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率為：
P=3×2×P（A₁B₂C₃）=6P（A₁）P（B₂）P（C₃）=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）設(shè)3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為η，由已知，η～B（3，$\frac{1}{3}$），且ξ=3-η；
所以P（ξ=0）=P（η=3）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=P（η=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
   P（ξ=2）=P（η=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{4}{9}$，
  P（ξ=3）=P（η=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$；
故ξ的分布是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{1}{27}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{8}{27}$=2．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，也考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率和二項分布的應(yīng)用問題，是概率的綜合性題目．