Question

3．已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，拋物線上的點(diǎn)P（m，4）到其焦點(diǎn)F的距離等于5．
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）如圖過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B
兩點(diǎn)，與圓M：（x-1）²+（y-4）²=4交于C、D兩點(diǎn)，若|AC|=|BD|，求三角形OAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)P（m，4）到拋物線的準(zhǔn)線距離為5，結(jié)合準(zhǔn)線方程為y+1=0，求解p，即可求解拋物線G的方程．
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為k，由于l過焦點(diǎn)F（0，1），直線l的方程為y=kx+1，取CD的中點(diǎn)N，連接MN，什么N點(diǎn)也是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、N（x₀，y₀），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化推出$\frac{{（2{k^2}+1）-4}}{2k-1}=-\frac{1}{k}$，求出k，然后求解三角形的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題知，點(diǎn)P（m，4）到拋物線的準(zhǔn)線距離為5，所以準(zhǔn)線方程為y+1=0，$\frac{p}{2}=1$，
拋物線G的方程為x²=4y…（4分）
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為k，由于l過焦點(diǎn)F（0，1），
所以直線l的方程為y=kx+1…（5分）
取CD的中點(diǎn)N，連接MN，則MN⊥CD，由于|AC|=|BD|，所以N點(diǎn)也是線段AB的中點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、N（x₀，y₀），則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0，所以x₁+x₂=4k，∴x₀=2k，${y_0}=2{k^2}+1$，即N（2k，2k²+1）…（9分）
∵${k_{MN}}=-\frac{1}{k}$，即$\frac{{（2{k^2}+1）-4}}{2k-1}=-\frac{1}{k}$，
整理得2k³-k-1=0，即（k-1）（2k²+2k+1）=0，∴k=1，
∵|AB|=y₁+y₂+2=（x₁+1）+（x₂+1）+2=8
原點(diǎn)到直線AB的距離為$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|×d=2\sqrt{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及拋物線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．