Question

12．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C₁的極坐標方程；
（2）若直線C₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），設(shè)C₂與C₁交于點P，Q，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出曲線C₁的普通方程，由此利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₁的極坐標方程．
（2）將$θ=\frac{π}{3}$代入ρ²-4ρcosθ-1=0，得ρ²-2ρ-1=0，由此能求出|PQ|．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
消去參數(shù)得曲線C₁的普通方程為（x-2）²+y²=5，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴（ρcosθ-2）²+（ρsinθ）²=5，
化簡，得曲線C₁的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-1=0．
（2）將$θ=\frac{π}{3}$代入ρ²-4ρcosθ-1=0，得ρ²-2ρ-1=0，
解得${ρ}_{1}=1-\sqrt{2}，{ρ}_{2}=1+\sqrt{2}$，
∴|PQ|=ρ₂-ρ₁=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．