Question

某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品的零售價定為p元，則銷售量Q（單位：件）與零售價p（單位：元）有如下關系Q=8300-170p-p²．問該商品零售價定為多少元時，毛利潤L最大，并求出最大毛利潤．

Answer 1

分析：毛利潤等于銷售額減去成本，可建立函數關系式，利用導數可求函數的極值點，利用極值就是最值，可得結論．

解答：解：由題意知：毛利潤等于銷售額減去成本，即
L（p）=pQ-20Q=Q（p-20）=（8300-170p-p²）（p-20）
=-p³-150p²+11700p-16600，…（4分）
所以L′（p）=-3p²-300p+11700．…（6分）
令L′（p）=0，解得p=30或p=-130（舍去）．…（9分）
此時，L（30）=23000．…（11分）
因為在p=30附近的左側L′（p）＞0，右側L′（p）＜0．
所以L（30）是極大值，根據實際問題的意義知，L（30）是最大值，…（13分）
答：零售定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．…（14分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查利用導數求函數的最值，由于函數為單峰函數，故極值就為函數的最值．