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已知{an}是公比為q的等比數列,且am、am+2、am+1成等差數列.

(1)求q的值;

(2)設數列{an}的前n項和為Sn,試判斷Sm、Sm+2、Sm+1是否成等差數列?并說明理由.

 

(1)q=1或-.(2)當q=1時,Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差數列;q=-時,Sm , Sm+2 , Sm+1成等差數列.

【解析】

試題分析:(1)根據三數成等差數列,列出等量關系:2am+2=am+1+am ∴2a1qm+1=a1qm+a1qm – 1,在等比數列{an}中,a1≠0,q≠0,∴2q2=q+1,解得q=1或-.(2)根據等比數列前n項和公式分類討論:若q=1,Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1∵a1≠0,∴2Sm+2≠S m+Sm+1若q=- ,Sm+2=·a1=·a1 ,Sm+Sm+1=·a1+·a1=·a1=·a1,∴2 Sm+2=Sm+Sm+1

【解析】
(1)依題意,得2am+2=am+1+am ∴2a1qm+1=a1qm+a1qm – 1

在等比數列{an}中,a1≠0,q≠0,∴2q2=q+1,解得q=1或-

(2)若q=1,Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1

∵a1≠0,∴2Sm+2≠S m+Sm+1

若q=-,Sm+2=·a1=·a1

Sm+Sm+1=·a1+·a1=·a1

·a1 ∴2 Sm+2=Sm+Sm+1

故當q=1時,Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差數列;q=-時,Sm , Sm+2 , Sm+1成等差數列.

考點:等比數列前n項和公式

 

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