Question

已知{an}是公比為q的等比數列，且am、am+2、am+1成等差數列．

（1）求q的值；

（2）設數列{an}的前n項和為Sn，試判斷Sm、Sm+2、Sm+1是否成等差數列？并說明理由．

 

Answer 1

（1）q＝1或－．（2）當q＝1時，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差數列；q＝－時，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差數列．

【解析】

試題分析：（1）根據三數成等差數列，列出等量關系：2am+2＝am+1＋am ∴2a1qm+1＝a1qm＋a1qm – 1，在等比數列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2＝q＋1，解得q＝1或－．（2）根據等比數列前n項和公式分類討論：若q＝1，Sm＋Sm+1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm+2＝(m＋2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m＋Sm+1若q＝－ ，Sm+2＝·a1＝·a1 ，Sm＋Sm+1＝·a1＋·a1＝·a1＝·a1，∴2 Sm+2＝Sm＋Sm+1

【解析】
（1）依題意，得2am+2＝am+1＋am ∴2a1qm+1＝a1qm＋a1qm – 1

在等比數列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2＝q＋1，解得q＝1或－．

（2）若q＝1，Sm＋Sm+1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm+2＝(m＋2)a1

∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m＋Sm+1

若q＝－，Sm+2＝·a1＝·a1

Sm＋Sm+1＝·a1＋·a1＝·a1

＝·a1 ∴2 Sm+2＝Sm＋Sm+1

故當q＝1時，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差數列；q＝－時，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差數列．

考點：等比數列前n項和公式