Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，過點F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，|AB|的最小值為3，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l不垂直于x軸時，點A關于x軸的對稱點為A′，直線A′B交x軸于點M，求△ABM面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為AB是過焦點F₁的弦，當AB⊥x軸時，|AB|最小，且最小值為$\frac{{2{b^2}}}{a}$，列出方程，利用橢圓定義知，△ABF₂的周長為4a，求出a，b，即可得到橢圓方程．
（2）設AB方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A'（x₁，-y₁），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，推出直線A′B的方程，利用直線A′B恒過定點，表示出三角形的面積，然后求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因為AB是過焦點F₁的弦，所以當AB⊥x軸時，|AB|最小，且最小值為$\frac{{2{b^2}}}{a}$，
由題意可知$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，
再由橢圓定義知，△ABF₂的周長為4a，所以4a=8，可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$                    （4分）
（2）設AB方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A'（x₁，-y₁），
則$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，化簡得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$②
則${k}_{A′B}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，∴A'B方程為$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$
化簡有$y=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）+2k}}{{{x_2}-{x_1}}}x-\frac{{2k{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，將①②代入可得$y=\frac{1}{{{x_2}-{x_1}}}（{\frac{6k}{{3+4{k^2}}}x+\frac{24k}{{3+4{k^2}}}}）=\frac{6k}{{（3+4{k^2}）（{x_2}-{x_1}）}}（{x+4}）$，
所以直線A'B恒過定點（-4，0），所以${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}×3×|{y_1}-{y_2}|$
設AB：x=my-1（m≠0），則$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$，
$\begin{array}{l}|{y_1}-{y_2}{|^2}={（{\frac{6m}{{3{m^2}+4}}}）^2}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}=\frac{{144（{m^2}+1）}}{{9{{（{m^2}+1）}^2}+6（{m^2}+1）+1}}\\=\frac{144}{{9（{m^2}+1）+\frac{1}{{{m^2}+1}}+6}}≤\frac{144}{16}=9\end{array}$
因為m≠0，所以0＜|y₁-y₂|＜3，
所以${S_{△ABM}}∈（{0，\frac{9}{2}}）$（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及設而不去的思想方法，考查分析問題解決問題的能力．