Question

20．從一批有10個合格品與3個次品的產品中，一件一件地抽取產品，設各個產品被抽取到的可能性相同．在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取次數x的分布列．
（1）每次取出的產品都不放回此批產品中；
（2）每次取出的產品都立即放回此批產品中，然后再取出一件產品；
（3）每次取出一件產品后總以一件合格品放回此批產品中．

Answer 1

分析 （1）X的取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．
（2）X的取值為1，2，3，…，n，…，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．
（3）X的取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）X的取值為1，2，3，4．
當X=1時，只取一次就取到合格品，
∴P（X=1）=$\frac{10}{13}$；
當X=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，
∴P（X=2）=$\frac{3}{13}×\frac{10}{12}=\frac{5}{26}$；
類似地有：
P（X=3）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{12}×\frac{10}{11}=\frac{5}{143}$，
P（X=4）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{12}×\frac{1}{11}×\frac{10}{10}=\frac{1}{286}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{5}{26}$	$\frac{5}{143}$	$\frac{1}{286}$

…（4分）
（2）X的取值為1，2，3，…，n，…．
當X=1時，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）=$\frac{10}{13}$；
當X=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（X=2）=$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$；
當X=3時，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，
∴P（X=3）=$\frac{3}{13}×\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$；
類似地當X=n時，即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品，
∴P（X=n）=（$\frac{3}{13}$）^n-1×$\frac{10}{13}$，n=1，2，3，…
∴X的分布列為：

X	1	2	3	…	n	…
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$	$（\frac{3}{13}）^{2}×\frac{10}{13}$	…	$（\frac{3}{13}）^{n-1}×\frac{10}{13}$	…

…（10分）
（3）X的取值為1，2，3，4．
當X=1時，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）=$\frac{10}{13}$；
當X=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取時，這批產品有11個合格品，2個次品，
∴P（X=2）=$\frac{3}{13}×\frac{11}{13}=\frac{33}{{{{13}^2}}}$；
類似地，P（X=3）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{13}×\frac{12}{13}=\frac{72}{{{{13}^3}}}$；
P（X=4）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{13}×\frac{1}{13}×\frac{13}{13}=\frac{6}{{{{13}^3}}}$，
∴ξ的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{33}{1{3}^{2}}$	$\frac{72}{1{3}^{3}}$	$\frac{6}{1{3}^{3}}$

…（16分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．