Question

2．已知焦點(diǎn)為F的拋物線y²=2px（p＞0）上有一點(diǎn)$A（{m，2\sqrt{2}}）$，以A為圓心，|AF|為半徑的圓被y軸截得的弦長為$2\sqrt{7}$，則m=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 運(yùn)用點(diǎn)滿足拋物線的方程可得p（由m表示），運(yùn)用拋物線的定義可得|AF|，即圓的半徑，運(yùn)用圓的弦長公式，解方程可得m的值．

解答 解：由$A（m，\;\;2\sqrt{2}）$在拋物線y²=2px上，
∴2pm=8，∴$p=\frac{4}{m}$，
∴拋物線的焦點(diǎn)$F（{\frac{p}{2}，\;\;0}）$，即$F（{\frac{2}{m}，\;\;0}）$，準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可知$|AF|=m+\frac{p}{2}=m+\frac{2}{m}$，
即圓A的半徑$r=m+\frac{2}{m}$．
∵A到y(tǒng)軸的距離d=m，
∴${r^2}-{d^2}={（\sqrt{7}）^2}$，
即${（{m+\frac{2}{m}}）^2}-{m^2}=7$，解得$m=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和方程的運(yùn)用，直線和圓相交的弦長公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．