Question

10．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ+3=0$．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）設P為曲線C上一點，Q為直線l上一點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程先求出曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標方程．
（2）先求出直線l的直角坐標方程，設p（$\sqrt{2}cosα$，sinα），求出點P到直線l的距離，由此利用三角函數(shù)能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²（1+sin²θ）=2．
（2）∵直線l的極坐標方程為$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ+3=0$．
∴直線l的直角坐標方程為x-$\sqrt{2}y$+3=0．
∵P為曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$上一點，∴設p（$\sqrt{2}cosα$，sinα），
點P到直線l的距離：d=$\frac{|\sqrt{2}cosα-\sqrt{2}sinα+3|}{\sqrt{1+2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{3π}{4}）+3|}{\sqrt{3}}$，
∵P為曲線C上一點，Q為直線l上一點，
∴當sin（$α+\frac{3π}{4}$）=-1時，|PQ|取最小值d_min=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．