Question

20．函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過原點(diǎn)的直線恰有三個交點(diǎn)，設(shè)三個交點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值為θ，則$\frac{{（1+{θ^2}）sin2θ}}{θ}$=2．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)求解出切線方程，設(shè)出切點(diǎn)為（θ，-sinθ），π＜θ＜$\frac{3π}{2}$，求出f（x）=sinx的導(dǎo)函數(shù)，斜率k相等，可得θ的值．即可求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過原點(diǎn)的直線恰有三個交點(diǎn)，
設(shè)出切點(diǎn)為（θ，-sinθ），π＜θ＜$\frac{3π}{2}$，
則f（x）=sinx的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-cosx，
∴f′（θ）=-cosθ=$-\frac{sinθ}{θ}$，
可得：θ=tanθ，
sin2θ=2sinθcosθ．
則$\frac{{（1+{θ^2}）sin2θ}}{θ}$=$\frac{（1+ta{n}^{2}θ）sin2θ}{tanθ}$=$\frac{sin2θ+\frac{sinθ•sinθ}{cosθ•cosθ}×2sinθcosθ}{\frac{sinθ}{cosθ}}$=2sin²θ+2cos²θ=2．
故答案為2．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的運(yùn)用．屬于中檔題．