Question

20．如圖，攝影愛好者在某公園A處發(fā)現(xiàn)正前方B處有一根立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為$\frac{π}{6}$，設(shè)攝影愛好者的眼睛（S）離地面的高度為$\sqrt{3}$m．
（1）求攝影愛好者到立柱的水平距離和立柱的高度；
（2）立柱的頂端有一長2米的彩桿MN，繞其中點O在SA與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影愛好者有一視角范圍為$\frac{π}{3}$的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影愛好者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．

Answer 1

分析 （1）攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，則有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=$\sqrt{3}$，在Rt△SAB中，由三角函數(shù)的定義可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函數(shù)的定義可求OC，進(jìn)而可求OB
（2）以O(shè)為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），則N（-cosθ，-sinθ），由（Ⅰ）知S（3，-$\sqrt{3}$），利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求cos∠MSN∈[$\frac{11}{13}$，1]，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求答案．

解答 解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，
依題意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=$\sqrt{3}$，故在Rt△SAB中，可求得BA=$\frac{SA}{tan30°}$=3，
即攝影者到立柱的水平距離為3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=$\sqrt{3}$，
又BC=SA=$\sqrt{3}$，故OB=2$\sqrt{3}$，即立柱的高度為2$\sqrt{3}$米．…（6分）

（2）如圖，以O(shè)為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐
標(biāo)系．設(shè)M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
則N（-cosθ，-sinθ），由（1）知S（3，-$\sqrt{3}$）．…（8分）
故$\overrightarrow{SM}$=（cosθ-3，sinθ+$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SN}$=（-$\sqrt{（-cosθ-3）^{2}+（-sinθ+\sqrt{3}）^{2}}$=，-sinθ+$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{SM}$•$\overrightarrow{SN}$=（cosθ-3）（-cosθ-3）+（sinθ-$\sqrt{3}$）（-sinθ-$\sqrt{3}$）=11（10分）
|$\overrightarrow{SM}$|•|$\overrightarrow{SN}$|=$\sqrt{169-48co{s}^{2}（θ+\frac{π}{6}）}$∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN∈[$\frac{11}{13}$，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影者都可以將彩桿全部攝入畫面

點評 本題考查的是解三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解基本概念：仰角俯角問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義及正弦、余弦定理．