Question

20．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$．（φ為參數(shù)）
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程，曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)φ能求出曲線C的普通方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得13x²-48x+44=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、參數(shù)方程能求出弦長|AB|．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{3}+cosθsin\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=$\sqrt{3}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x+y$-2$\sqrt{3}$=0．
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$．（φ為參數(shù)）
∴消去參數(shù)φ得曲線C的普通方程為：
$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得13x²-48x+44=0，
△=（-48）²-4×13×44=16，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{48}{13}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{44}{13}$，
∴弦長|AB|=$\sqrt{1+（-\sqrt{3}）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{48}{13}）^{2}-4×\frac{44}{13}}$=2×$\frac{4}{13}$=$\frac{8}{13}$．

點評 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程，曲線的普通方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運用．