Question

8．若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3．
（1）求a+2b的最小值；
（2）是否存在a，b使得a²+4b²=17？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件用b表示的a，化簡所求表達(dá)式，利用基本不等式求解最值即可．
（2）利用基本不等式求出表達(dá)式的最小值，判斷是否存在a，b即可．

解答 解：（1）由條件知a（2b-1）=2b+3＞0，$b＞\frac{1}{2}$．所以$a=\frac{2b+3}{2b-1}$．$a+2b=\frac{2b+3}{2b-1}+2b=2b-1+\frac{4}{2b-1}+2$≥2$\sqrt{4}+2=6$
當(dāng)且僅當(dāng)2b-1=2，即$b=\frac{3}{2}$，a=3時取等，所以a+2b的最小值為6．
（2）因為$\frac{{{a^2}+4{b^2}}}{2}≥{（{\frac{a+2b}{2}}）^2}≥{（{\frac{6}{2}}）^2}=9$，當(dāng)且僅當(dāng)$b=\frac{3}{2}$，a=3時取等，
所以a²+4b²≥18，故不存在a，b使得a²+4b²=17．

點評 本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，以及計算能力．