Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x
（1）求函數(shù)y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的最大值；
（2）若x＞1 求證f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）

Answer 1

分析 （1）h（x）=y=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）．h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得x=e．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出函數(shù)y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的最大值為h（e）．
（2）x＞1，f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）?x＞1時(shí)，lnx＞2$\frac{x-1}{x+1}$?（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1．令u（x）=（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1，u（1）=0．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可得出．

解答 （1）解：h（x）=y=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）．
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得x=e．
可知：x＞e時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴x=e時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值即最大值．
∴函數(shù)y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的最大值為h（e）=$\frac{1}{e}$．
（2）證明：x＞1，f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）?x＞1時(shí)，lnx＞2$\frac{x-1}{x+1}$?（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1．
令u（x）=（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1，u（1）=0．
u′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-2=$\frac{xlnx+1-x}{x}$．
令v（x）=xlnx+1-x，x＞1．
v′（x）=lnx＞ln1=0．
∴函數(shù)v（x）在x＞1時(shí)單調(diào)遞增，∴v（x）＞v（1）=0．
∴u′（x）＞0，
∴函數(shù)u（x）在x＞1時(shí)單調(diào)遞增，u（x）＞u（1）=0．
∴（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1．即x＞1，f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．