Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-9x，函數(shù)g（x）=3x²+a．
（Ⅰ）已知直線l是曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線，且l與曲線y=g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三個不同實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率和方程，設(shè)l與曲線y=g（x）相切于點（m，n），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率可得方程，求得a的值；
（Ⅱ）記F（x）=f（x）-g（x）=x³-9x-3x²-a，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，極值，由題意可得方程f（x）=g（x）有三個不同實數(shù)解的等價條件為極小值小于0，極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³-9x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-9，
f（0）=0，f′（0）=-9，直線l的方程為y=-9x，
設(shè)l與曲線y=g（x）相切于點（m，n），
g′（x）=6x，g′（m）=6m=-9，解得m=-$\frac{3}{2}$，
g（m）=-9m，即g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{27}{4}$+a=$\frac{27}{2}$，
解得a=$\frac{27}{4}$；
（Ⅱ）記F（x）=f（x）-g（x）=x³-9x-3x²-a，
F′（x）=3x²-6x-9，
由F′（x）=0，可得x=3或x=-1．
當x＜-1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當-1＜x＜3時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當x＞3時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
可得x=-1時，F(xiàn)（x）取得極大值，且為5-a，
x=3時，F(xiàn)（x）取得極小值，且為-27-a，
因為當x→+∞，F(xiàn)（x）→+∞；x→-∞，F(xiàn)（x）→-∞．
則方程f（x）=g（x）有三個不同實數(shù)解的等價條件為：
5-a＞0，-27-a＜0，
解得-27＜a＜5．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查方程的解的情況，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查運算化簡能力，屬于中檔題．