【題目】如圖，在三棱錐中，平面，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，是線段上一點(diǎn)．

（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．

（2）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為．證明見解析

【解析】

以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求出平面BDE的法向量，直線AC的方向向量，求出向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值；（2）先假設(shè)結(jié)論成立，分別求出平面平面的法向量，由平面平面可知兩法向量的數(shù)量積為0，即可求解點(diǎn)E的位置.

解：不妨設(shè)，在平面中作，以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以，，．

設(shè)是平面的法向量，則

即

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為．

所以，

所以直線與平面所成的角的正弦值為．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面平面，設(shè)．

顯然，．

設(shè)是平面的法向量，則即

取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為．

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以，．

設(shè)是平面的法向量，則即

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為．

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，即，，解得．

所以的值為2，即當(dāng)時(shí)，平面平面．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某單位年會(huì)進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱里裝有張印有“一等獎(jiǎng)”的卡片， 張印

有“二等獎(jiǎng)”的卡片， 3張印有“新年快樂(lè)”的卡片，抽中“一等獎(jiǎng)”獲獎(jiǎng)元， 抽中“二等獎(jiǎng)”獲獎(jiǎng)元，抽中“新年快樂(lè)”無(wú)獎(jiǎng)金.

（1）單位員工小張參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次隨機(jī)抽取一張卡片，抽取后不放回.假如小張一定要將所有獲獎(jiǎng)卡片全部抽完才停止. 記表示“小張恰好抽獎(jiǎng)次停止活動(dòng)”，求的值；

（2）若單位員工小王參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一次隨機(jī)抽取張卡片.

①記表示“小王參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)”，求的值；

②設(shè)表示“小王參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)所獲獎(jiǎng)金數(shù)（單位：元）”，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式。

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)m＞0時(shí)，若對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，且x1＜x2，都有,成立，求m的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時(shí)間月)的關(guān)系有以下敘述:

①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;

②第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積就會(huì)超過(guò)

③浮萍從蔓延到需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月;

④浮萍每個(gè)月增加的面積都相等;

⑤若浮萍蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為則.其中正確的是

A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解社會(huì)對(duì)學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量的滿意程度，某學(xué)校決定用分層抽樣的方法從高中三個(gè)年級(jí)的家長(zhǎng)委員會(huì)中共抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，已知高一、高二、高三、的家長(zhǎng)委員會(huì)分別有人，人，人.

求從三個(gè)年級(jí)的家長(zhǎng)委員會(huì)分別應(yīng)抽到的家長(zhǎng)人數(shù)；

若從抽到的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比，求這人中至少有一人是高三學(xué)生家長(zhǎng)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 。

（1）若曲線與在點(diǎn)處的切線互相垂直，求 值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(I) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(II) 當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四大名著是中國(guó)文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著均有若干本），要求每人只借閱一本名著，每種名著均有人借閱，且甲只借閱《三國(guó)演義》，則不同的借閱方案種數(shù)為_______.

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同步練習(xí)冊(cè)答案