分析 (1)由題意可得:ca=12,a=2,a2=b2+c2,解出即可得出.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由kOA•kOB=−34.可得y1x1•y2x2=-34,可得3x1•x2+4(kx1+m)(kx2+m)=0,化為:(3+4k2)x1•x2+4km(x1+x2)+4m2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可證明.
(3)由(2)可得:△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,可得k∈R.|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√6√14k2+3+1,即可得出.
解答 (1)解:由題意可得:ca=12,a=2,a2=b2+c2,解得a=2,c=1,b2=3.
∴橢圓E的方程為x24+y23=1.
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立{y=kx+mx24+y23=1,化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
△>0,∴x1+x2=−8km3+4k2,x1•x2=4m2−123+4k2,
∵kOA•kOB=−34.
∴y1x1•y2x2=-34,即3x1•x2+4y1y2=0,
∴3x1•x2+4(kx1+m)(kx2+m)=0,
化為:(3+4k2)x1•x2+4km(x1+x2)+4m2=0,
∴(3+4k2)4m2−123+4k2+4km•−8km3+4k2+4m2=0,
化為:2m2=4k2+3.
(3)解:由(2)可得:△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
化為:4k2+3>m2,∴4k2+3>4k2+32,∴k∈R.
|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=√(1+k2)[64k2m2(3+4k2)2−4(4m2−12)3+4k2]
=√(1+k2)[32k2(4k2+3)(3+4k2)2−4(8k2−6)3+4k2]
=2√6•√1+k23+4k2=√6√14k2+3+1∈(√6,2√2].
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),|AB|的最大值2√2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | (-∞,-2)∪(0,+∞) | B. | (-∞,0)∪(2,+∞) | C. | (2,3) | D. | (-2,3) |
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A. | 27 | B. | 33 | C. | 135 | D. | 165 |
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準(zhǔn)備參加 | 不準(zhǔn)備參加 | 待定 | |
男生 | 30 | 6 | 15 |
女生 | 15 | 9 | 25 |
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A班(單位:分) | 5 | 8 | 9 | 9 | 9 |
B班(單位:分) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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