Question

4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別是a，b，c，且2csinC=（2b-a）sinB+（2a-b）sinA．
（1）求角C大��；
（2）若c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知整理可得ab=b²+a²-c²，利用余弦定理可求cosC，結(jié)合范圍C∈（0°，180°），可求C的值．
（2）利用三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得bcosA=2acosA，從而可求cosA=0，或b=2a，分類討論利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵2csinC=（2b-a）sinB+（2a-b）sinA．
∴2c²=（2b-a）b+（2a-b）a，整理可得：ab=b²+a²-c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0°，180°），
∴C=60°．
（2）∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=4sinAcosA，
∴cosAsinB=2sinAcosA，由正弦定理可得：bcosA=2acosA，
∴cosA=0，或b=2a，
∴當cosA=0時，A=90°，C=60°，c=2，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
當b=2a時，C=60°，c=2，由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．