Question

8．已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點在球O的球面上，球O的表面積為64π，則四棱錐O-ABCD的體積為$\frac{4\sqrt{14}}{3}$．

Answer 1

分析 作平面ABCD的垂線OM，則M為正方形中心，求出OA，AM，OM，然后求解四棱錐O-ABCD的體積．

解答 解：過O作OM⊥平面ABCD，垂足為M，則M為正方形ABCD的中心．
∵正方形ABCD的邊長為2，∴AC=2$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，球O的表面積為64π，
∵S_球O=4πr²=64π，∴球O的半徑OA=r=4．
∴OM=$\sqrt{{4}^{2}-（{\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{14}$．
則四棱錐O-ABCD的體積為：$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{14}$=$\frac{4\sqrt{14}}{3}$
故答案為：$\frac{4\sqrt{14}}{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．