Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{2}{3}$，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的單調遞增、遞減區(qū)間．
（2）由已知得只需使x∈[-1，2]時，f（x）的最大值小于m即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{2}{3}$，
當x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當x∈（-$\frac{2}{3}$，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），f（x）的減區(qū)間為（-$\frac{2}{3}$，1）．
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，
只需使x∈[-1，2]時，f（x）的最大值小于m即可，
由（1）知f（x）_極大值=f（-$\frac{2}{3}$）=5 $\frac{22}{27}$，f（2）=7，
∴f（x）在x∈[-1，2]中的最大值為f（2）=7，
∴m＞7．

點評 本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．