Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別為AB、BB₁的中點．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD
（2）若AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，求三棱錐A₁-CDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，需在平面A₁DE內找一條與BC₁平行的直線．因為ACC₁A₁是矩形，故對角線互相平分，所以連結AC₁，與A₁C交于點O．因為D是AB的中點，連結OD，則OD是△ABC₁的中位線，所以BC₁∥OD，從而可證得BC₁∥平面A₁CD．
（2）先求出CD⊥平面A₁DE．再由VA1-CDE=VC-A1DE，利用等積法能三棱錐A₁-CDE的體積．

解答： （1）證明：連結AC₁，交A₁C于點O，連結OD，
因為D是AB的中點，所以BC₁∥OD，
因為BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：因為AC=BC，D為AB的中點，所以CD⊥AB，
又因為該三棱柱是直三棱柱，所以CD⊥平面ABB₁A₁，
即CD⊥平面A₁DE．
所以VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

×S△A1DE×CD．
因為AC=BC=2，AB=2

2

，所以CD=

2

．
S△A1DE=2

2

×2-

1

2

×

2

×2-

1

2

×

2

×1-

1

2

×2

2

×1=

3 2

2

，
所以VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1．

點評：本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關系及性質的合理運用．