Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，x≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，關(guān)于x的方程$\sqrt{f（x）}$+$\frac{2}{\sqrt{f（x）}}$-λ=0有四個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{2}{e}$）
• B． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （e+$\frac{2}{e}$，+∞）
• D． （$\frac{{e}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值$\frac{4}{{e}^{2}}$，關(guān)于x的方程$\sqrt{f（x）}$+$\frac{2}{\sqrt{f（x）}}$-λ=0有四個(gè)相異實(shí)根，則t+$\frac{2}{t}$-λ=0的一根在（0，$\frac{2}{e}$），另一根在（$\frac{2}{e}$，+∞）之間，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
∴x＜0或x＞2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值$\frac{4}{{e}^{2}}$，
關(guān)于x的方程$\sqrt{f（x）}$+$\frac{2}{\sqrt{f（x）}}$-λ=0有四個(gè)相異實(shí)根，則t+$\frac{2}{t}$-λ=0的一根在（0，$\frac{2}{e}$），另一根在（$\frac{2}{e}$，+∞）之間，
∴$\frac{2}{e}+e-λ＜0$，∴λ＞e+$\frac{2}{e}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查方程根問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．