Question

8．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中點(diǎn)，△A₁MC₁是等腰三角形，D為CC₁的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)．
（1）若BE=3EC，求證：DE∥平面A₁MC₁；
（2）若AA₁=l，求三棱錐A-MA₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，C₁N，則MN∥AC∥A₁C₁，從而DE∥NC₁．由此能證明DE∥平面A₁MC₁．
（2）三棱錐A-MA₁C₁的體積${V_{A-{A_1}M{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}AM}}$．由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）如圖1，取BC中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，C₁N，
∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴M，N，C₁，A₁共面．
∵BE=3EC，∴E是NC的中點(diǎn)．
又D是CC₁的中點(diǎn)，∴DE∥NC₁．
∵DE?平面MNC₁A₁，NC₁?平面MNC₁A₁，
∴DE∥平面A₁MC₁．
解：（2）如圖2，當(dāng)AA₁=1時(shí)，
則AM=1，A₁M=$\sqrt{2}$，A₁C₁=$\sqrt{2}$．
∴三棱錐A-MA₁C₁的體積：
${V_{A-{A_1}M{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}AM}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AM•A{A_1}•{A_1}{C_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．