12.設(shè)M=($\frac{1}{a}$-1)($\frac{1}$-1)($\frac{1}{c}$-1)滿足a+b+c=1(其中a>0,b>0,c>0),則M的取值范圍是( 。
A.[0,$\frac{1}{8}$)B.[$\frac{1}{8}$,1)C.[1,8)D.[8,+∞)

分析 根據(jù)基本不等式得到則$\frac{1}{a}$-1≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$,$\frac{1}$-1≥$\frac{2\sqrt{ac}}$,$\frac{1}{c}$-1≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$繼而求出M的范圍

解答 解:根據(jù)題意,a+b+c=1,則$\frac{1}{a}$-1=$\frac{a+b+c}{a}$-1=$\frac{b+c}{a}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$,
同理$\frac{1}$-1≥$\frac{2\sqrt{ac}}$,$\frac{1}{c}$-1≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$,
則M=($\frac{1}{a}$-1)($\frac{1}$-1)($\frac{1}{c}$-1)≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào).
則($\frac{1}{a}$-1)($\frac{1}$-1)($\frac{1}{c}$-1)有最小值為8,
則M的取值范圍是[8,+∞),
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為B,過(guò)點(diǎn)B且互相垂直的動(dòng)直線l1,l2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P,Q,若當(dāng)l1的斜率為2時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-$\frac{5}{3}$,-$\frac{4}{3}$)
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線PQ與y軸相交于點(diǎn)M,設(shè)$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.過(guò)拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作圓C:x2+y2-8y+15=0的切線,切點(diǎn)分別為M、N,已知直線MN:3y-11=0.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線交于點(diǎn)A、B,若以AB為直徑的圓與圓C相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.求證:ln(23+1)+ln(33+1)+ln(43+1)+…+ln(n3+1)<$\frac{1}{4}$+3lnn!(n≥2,n∈N)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)<e,f(0)=e+2(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則不等式exf(x)>ex+1+2的解集為( 。
A.(-∞,0)B.(-∞,e+2)C.(-∞,0)∪(e+2,+∞)D.(0,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.已知不等式a(2x-2-x)+$\frac{{2}^{2x}+{2}^{-2x}}{2}$≥0在x∈[1,2]時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{17}{12}$,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

4.復(fù)數(shù)z滿足$\frac{z}{1-z}$=2i,則z的模為(  )
A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$D.$\frac{16}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

1.某大學(xué)為了解某專業(yè)新生的綜合素養(yǎng)情況,從該專業(yè)新生中隨機(jī)抽取了2n(n∈N*)名學(xué)生,再?gòu)倪@2n名學(xué)生中隨機(jī)選取其中n名學(xué)生參加科目P的測(cè)試.另n名學(xué)生參加科目Q的測(cè)試.每個(gè)科目成績(jī)分別為1分,2分,3分,4分,5分.兩個(gè)科目測(cè)試成績(jī)整理成如圖統(tǒng)計(jì)圖,已知在科目P測(cè)試中,成績(jī)?yōu)?分的學(xué)生有8人.
(Ⅰ)分別求在兩個(gè)科目中成績(jī)?yōu)?分的學(xué)生人數(shù)
〔Ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,分別估計(jì):
(i)該專業(yè)新生在這兩個(gè)科目上的平均成績(jī)的高低;
(ii)該專業(yè)新生在這兩個(gè)科目中,哪個(gè)科目的個(gè)體成績(jī)差異較為明顯.(結(jié)論不要求證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.如圖,在圓心角為120°的扇形OAB中,以O(shè)A為直徑作一個(gè)半圓,若在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( 。
A.$\frac{5}{8π}$B.$\frac{5}{8}$C.$\frac{3}{8}$D.$\frac{3}{8π}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案