Question

12．設(shè)M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）滿足a+b+c=1（其中a＞0，b＞0，c＞0），則M的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{8}$）
• B． [$\frac{1}{8}$，1）
• C． [1，8）
• D． [8，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式得到則$\frac{1}{a}$-1≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$，$\frac{1}$-1≥$\frac{2\sqrt{ac}}$，$\frac{1}{c}$-1≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$繼而求出M的范圍

解答 解：根據(jù)題意，a+b+c=1，則$\frac{1}{a}$-1=$\frac{a+b+c}{a}$-1=$\frac{b+c}{a}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$，
同理$\frac{1}$-1≥$\frac{2\sqrt{ac}}$，$\frac{1}{c}$-1≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$，
則M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)．
則（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）有最小值為8，
則M的取值范圍是[8，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題