Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足，且a₁，a₂，a₇依次是等比數(shù)列{b_n}的前三項．（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）是否存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)8S_n=a_n²+4a_n+3令n=1可求出首項a₁的值，然后利用遞推關(guān)系可得8S_n-1=a_n-1²+4a_n-1+3（n≥2），兩式相減可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，從而得到數(shù)列{a_n}的公差，最后驗證討論首項，驗證a₁，a₂，a₇是否成等比數(shù)列即可，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）滿足條件的a存在，a=，然后將數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式代入a_n-log_ab_n，使之為常數(shù)，可求出a的值．
解答：解：（1）∵8S_n=a_n²+4a_n+3，①
∴8a₁=a₁²+4a₁+3．
解之，得a₁=1，或a₁=3．…（2分）
又8S_n-1=a_n-1²+4a_n-1+3（n≥2），②
由①-②，得 8a_n=（a_n²-a_n-1²）+4（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0．
∵各項均為正數(shù)則a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4（n≥2）．…（5分）
當a₁=1時，a₂=5，a₇=25．a(chǎn)₁，a₂，a₇成等比數(shù)列，
∴a_n=4n-3，b_n=5^n-1
當a₁=3時，a₂=7，a₇=27，有 不構(gòu)成等比數(shù)列，舍去．
（2）滿足條件的a存在，a=
由（1）知，a_n=4n-3，b_n=5^n-1從而
a_n-log_ab_n=4n-3-log_a5^n-1=（4-log_a5）n-3+log_a5
由題意得4-log_a5=0
∴a=
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列與函數(shù)的綜合題，屬于中檔題．