Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx+1．
（1）求f′（e）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（2）求曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（3）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，證明：g（x）＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（e）即可；
（2）計算f（e），f′（e），求出切線方程即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+（x-1）$\frac{1}{x}$，
故f′（e）=lne+（e-1）$\frac{1}{e}$=2-$\frac{1}{e}$；
（2）f（e）=（e-1）lne+1=e，f′（e）=2-$\frac{1}{e}$，
故切線方程是：y-e=（2-$\frac{1}{e}$）（x-e），
即（2-$\frac{1}{e}$）x-y-e+1=0；
（3）證明：g（x）=$\frac{（x-1）lnx+1}{x}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e²，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e²，
故g（x）在（0，e²）遞減，在（e²，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（e²）=2-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，
故g（x）＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．