Question

1．已知函數(shù)f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．設(shè)a=2，b=$\frac{1}{2}$．
（1）求方程f（x）=2的根．
（2）對任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用方程，直接求解即可；（2）列出不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1），a=2，b=$\frac{1}{2}$．
方程f（x）=2；即：2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，可得x=0．
（2）不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，
即2^2x+$\frac{1}{{2}^{2x}}$≥m（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）-6恒成立．
令t=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，t≥2．
不等式化為：t²-mt+4≥0在t≥2時，恒成立．
可得：△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}≤2}\\{{2}^{2}-2m+4≥0}\end{array}\right.$，
即：m²-16≤0或m≤4，
∴m∈（-∞，4]．
實數(shù)m的最大值為：4．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．