Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE=3ED，CF=FB，如果對于常數(shù)m，在正方形ABC的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=m成立，那么m的取值范圍是（-1，8）．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，逐段分析$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍及對應(yīng)的解得答案．

解答 解：以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖，則E（0，6），F(xiàn)（8，4）．
（1）若P在AB上，設(shè)P（x，0），0≤x≤8．
∴$\overrightarrow{PE}$=（-x，6），$\overrightarrow{PF}$=（8-x，4）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-8x+24，∵x∈[0，8]，∴8≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤24．
∴當(dāng)m=8時(shí)有一解，當(dāng)8＜m≤16時(shí)有兩解．
（2）若P在AD上，設(shè)P（0，y），0＜y≤8．
∴$\overrightarrow{PE}$=（0，6-y），$\overrightarrow{PF}$=（8，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（6-y）•（4-y）=y²-10y+24，
∵0＜y≤8，∴-1≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜24．
∴當(dāng)m=-1或8＜m＜24，有一解，當(dāng)-1＜m≤8時(shí)有兩解．
（3）若P在DC上，設(shè)P（x，8），0＜x≤8．
$\overrightarrow{PE}$=（-x，-2），$\overrightarrow{PF}$=（8-x，-4）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-8x+8，∵0＜x≤8．
∴-8≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤4．
∴當(dāng)m=-8或m=8時(shí)有一解，當(dāng)-8＜m＜8時(shí)有兩解．
（4）若P在BC上，設(shè)P（8，y），0＜y＜8，
∴$\overrightarrow{PE}$=（-8，6-y），$\overrightarrow{PF}$=（0，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（6-y）•（4-y）=y²-10y+24，
∵0＜y＜8，∴-1≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜24．
∴當(dāng)m=-1或8≤m＜24時(shí)有一解，當(dāng)-1＜m＜8時(shí)有兩解．
綜上，在正方形ABC的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=m成立，那么m的取值范圍是（-1，8）．
故答案為：（-1，8）．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積計(jì)算，二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)判斷．屬于中檔題．