Question

2．已知拋物線(xiàn)C：y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-$\frac{1}{2}$，過(guò)點(diǎn)（3，0）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M作y軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)N，直線(xiàn)AN，BN分別與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）求△NAB和△NPQ的面積之比$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線(xiàn)C：y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-$\frac{1}{2}$，∴p=1，即可得拋物線(xiàn)C的方程
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=my+3}\end{array}\right.$，消去y得y²-2my-6=0
 $\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}NB•NA•sin∠ANB}{\frac{1}{2}NP•NQ•sin∠PNQ}=\frac{NB•NA}{NP•NQ}$=|$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}-2{m}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{4}}{{（m}^{2}+1）^{2}}$=|$\frac{（{x}_{1}-\frac{{m}^{2}}{2}）（{x}_{2}-\frac{{m}^{2}}{2}）}{（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）}$|=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|令$\frac{1}{{m}^{2}+1}=t，t∈（0，1]$，則$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|=f（t）=|-45t²+6t+3|
即可求得△NAB和△NPQ的面積之比$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$的最大值

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)C：y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-$\frac{1}{2}$，∴p=1，拋物線(xiàn)C的方程為：y²=2x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=my+3}\end{array}\right.$，消去y得y²-2my-6=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-6，則N（$\frac{{m}^{2}}{2}，m$）
$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}NB•NA•sin∠ANB}{\frac{1}{2}NP•NQ•sin∠PNQ}=\frac{NB•NA}{NP•NQ}$=|$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}-2{m}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{4}}{{（m}^{2}+1）^{2}}$=|$\frac{（{x}_{1}-\frac{{m}^{2}}{2}）（{x}_{2}-\frac{{m}^{2}}{2}）}{（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）}$|=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|令$\frac{1}{{m}^{2}+1}=t，t∈（0，1]$，則$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|=f（t）=|-45t²+6t+3|
∵f（1）=36$＞f（\frac{1}{15}）$
∴當(dāng)t=1時(shí)，△NAB和△NPQ的面積之比$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$的最大值為36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了方程思想、計(jì)算能力，屬于中檔題