【題目】已知數(shù)列的前n項和為
,
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記.若對任意正整數(shù)n,
恒成立,求k的取值范圍;
(3)已知集合.若以a為首項,a為公比的等比數(shù)列前n項和記為
,問是否存在實數(shù)a,使得對于任意的
均有
.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
.
【解析】
(1)由題意結(jié)合數(shù)列與
的關系可得
,進而可得
是以
為首項,公比
的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式即可得解;
(2)由題意結(jié)合無窮等比數(shù)列的各項和公式可得,轉(zhuǎn)化條件為
恒成立,按照n是偶數(shù)、n是奇數(shù)分類,根據(jù)單調(diào)性與極限求得
的最小值即可得解;
(3)由題意,按照
、
分類;當
時,由
不成立可排除;當
時,由單調(diào)性結(jié)合極限可得
,進而可得
,即可得解.
(1)由題意知,當時,
兩式相減變形得:
.
又時,
即
,于是
,
故數(shù)列是以
為首項,公比
的等比數(shù)列,
;
(2)由題意,
,
所以恒成立,
當n是偶數(shù)時,是n的增函數(shù),于是
,故
,
當n是奇數(shù)時,是n的減函數(shù),因為
,故
,
綜上所述,k的取值范圍是;
(3)由題意,
①當時,
,
,若
,則
,
得,此不等式組的解集為空集,
即當時,不存在滿足條件的實數(shù)a;
②當時,
,
而是關于n的增函數(shù),
,
且,故
,
因此對任意的,要使
,只需
,解得
;
綜上,a的取值范圍為.
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【題目】數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,設
.
(1)數(shù)列是否為等比數(shù)列?證明你的結(jié)論;
(2)設數(shù)列的前
項和分別為
.若
,求數(shù)列
的通項公式.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=120°,AC=AB=2,AA1=3.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
(2)若M是棱BC的一個靠近點C的三等分點,求證:AM⊥平面ABB1A1.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為
,且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點F.
(1)求直線l的普通方程;
(2)設曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L,求L的最大值.
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【題目】2020年寒假,因為“新冠”疫情全體學生只能在家進行網(wǎng)上學習,為了研究學生網(wǎng)上學習的情況,某學校隨機抽取名學生對線上教學進行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為
,抽取的學生中男生有
人對線上教學滿意,女生中有
名表示對線上教學不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有
的把握認為“對線上教學是否滿意 與性別有關”;
態(tài)度 性別 | 滿意 | 不滿意 | 合計 |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 100 |
(2)從被調(diào)查的對線上教學滿意的學生中,利用分層抽樣抽取名學生,再在這
名學生中抽取
名學生,作線上學習的經(jīng)驗介紹,求其中抽取一名男生與一名女生的概率.
附:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知兩個不同的單位向量與
之間滿足關系:
,其中
.
(1)若,求
的解析式;
(2)能否和
垂直?
能否和
平行?若不能,則說明理由;若能,則求出對應的k值;
(3)求與
夾角的最大值.
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【題目】低密度脂蛋白是一種運載膽固醇進入外周組織細胞的脂蛋白顆粒,可被氧化成氧化低密度脂蛋白,當?shù)兔芏戎鞍,尤其是氧化修飾的低密度脂蛋白過量時,它攜帶的膽固醇便積存在動脈壁上,久了容易引起動脈硬化,因此低密度脂蛋白被稱為“壞的膽固醇”.為了調(diào)查某地中年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關,隨機調(diào)查該地100名中年人,得到2×2列聯(lián)表如下:
肥胖 | 不肥胖 | 總計 | |
低密度脂蛋白不高于 | 12 | 63 | 75 |
低密度脂蛋白高于 | 8 | 17 | 25 |
總計 | 20 | 80 | 100 |
由此得出的正確結(jié)論是( )
A.有10%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關”
B.有10%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關”
C.有90%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關”
D.有90%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關”
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【題目】已知為實數(shù),函數(shù)
.
(1)若是函數(shù)
的一個極值點,求實數(shù)
的取值;
(2)設,若
,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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